Grandes Inventos de la Música (III)

Sistemas Mesotónicos y Temperados.
by Lucifer.

En las dos entregas anteriores examinamos dos diferentes tipos de afinación, primero la Pitagórica, y su acierto con las Quintas, Cuartas y Octavas, los intérvalos Justos, y luego el sistema Justo, y su acierto con las Terceras y Septimas Consonantes. Pero estos logros no fueron gratuitos, ya que las Quintas Pitagóricas introdujeron la Coma Pitagórica y los enarmónicos, y el sistema Justo la Coma Sintónica y los tonos grandes y pequeños diferentes.

Los sistemas Temperados se basan en el concepto de Atemperar la Coma, o sea eliminarla sin que se note. El método mas usual es diluyendo estas comas entre todas las notas, cambiándolas ligeramente de valor de forma imperceptible para evitar su drástica aparición en un solo intérvalo determinado. Esto, aplicado al sistema de Quintas, implica que la perfecta Quinta Pitagórica se va a modificar ligeramente para que cada avance en el ciclo de quintas nos proporcione intervalos diferentes a sus homólogos justos, pero iguales entre sí.

(Ojo que por Sistema Temperado habitualmente se entiende el Sistema Igual-12, que atempera hasta la coma pitagórica, aquí lo amplio para todos los sistemas que Atemperan Alguna Cosa, en sentido mas amplio. Todos los que siguien son por tanto Temperados de alguna forma u otra.)

El Sistema Mesotónico - Cuarto de coma

El sistema mesotónico pretende Atemperar la Coma Sintónica a base de repartirla entre las 4 quintas que forman la Tercera Mayor del Sistema Justo (5:4). Como que la Coma Sintónica aparecía una vez cada cuatro quintas, la quinta debe reducierse en un cuarto de coma. (este sistema también es llamado de cuarto de coma). De esta forma se conserva la 3º Mayor (5:4) pero ahora esta formada por dos tonos iguales y cuatro quintas iguales, desapareciendo la diferencia del Tono Grande y Tono Pequeño. (En el Justo menor, sería un tercio de coma sintónica por Quinta). Con esta pequeña alteración el sistema es mas portable, se puede transportar un tema a sus tonos vecinos sin sufrir por si atravesamos alguna de las cuatro quintas con trampa. Eso si, por el camino perdemos la Quinta Justa ya que le vamos a restar un cuarto de coma, y la Cuarta Justa se aumenta en la misma medida.

A la práctica esto se resuelve así: buscar un intérvalo cuya repetición cuatro veces nos otorgue la 3º Mayor buscada de 5:4. El resultado es "Raiz Cuarta de 5:4" que o 1,4953. (En realidad hay solo que calcular "Raiz Cuarta de 5" ya que Cuatro Quintas ocupan 2 Octavas luego el denominador 4 se va). O también se puede calcular sacando la raiz cuarta de la coma sintónica y dividiendo la quinta justa por ese valor que sale lo mismo.

Eso sí, el problema está en empezar a trabajar con números irracionales muy difíciles de clavar, de afinar y de reproducir de forma fiable. Solamente recordar que la calculadora de bolsillo y el afinador electrónico se inventaron en el sXX y que ahora estamos hablando del XVII, donde para sacar una raiz cuadrada necesitabas un monasterio de monjes y docenas de ábacos. Y que es mas dificil trabajar con una "desafinación calculada" que con una afinación "justa".

Rehaciendo el sistema de Quintas pero de valor 1,495349, vemos sus resultados en forma lineal y logarítmica (cents). En este caso doy los valores desde (-3) quintas hasta (+8) quintas, ya que seguimos teniendo una coma pitagórica y por tanto enarmónicos y un máximo de 12 notas/quintas consecutivas a escojer en todo el sistema. La formula es la del sistema Pitagórico pero usando este valor irracional [1,495349^n] o su expresión compacta en plan matemáticas que se expresa como (5^(n/4)) y el denominador como siempre las potencias de '2' necesarias para reducir la expresión a la octava de referencia. El resultado lo doy en "cents" que es una magnitud logarítmica 0-1200 por octava y entre paréntesis la diferencia con los "cents" del sistema Justo del que proviene este sistema,

Unísono: 0 (0)
2º menor: 117 (+5)
2º Mayor: 193 (-11)
3º menor: 310 (-5)
3º Mayor: 386 (0)
4º Justa: 503 (+5)
Tritono: 580 (+28)
5º Justa: 697 (-5)
6º menor: 813 (0)
6º Mayor: 890 (+5)
7º menor: 1007 (+11)
7º Mayor: 1083 (-5)
8º Justa: 1200 (0)

En este sistema los semitonos se atemperan igualmente, las 5 quintas dan el semitono diatónico y las 7 quintas el cromático. Tono solo hay uno así que:

Tono: 193 (-11 respecto al Tono Grande de 204 , +11 respecto al pequeño de 182)
STD: 117 (+5)
STC: 76 (-16)

Así que la cosa queda bastante arregladita, solo hay correcciones de 5 y 11 cents, salvo el trítono que era bastante intratable y que ahora queda mas disimulado. El semitono aumenta su inversión heredada del Justo (el diatónico sigue ganado peso a costa del cromático) y la sensible se aleja 5 cents más de la tónica, dos efectos no my buenos pero no se puede tener todo. Nos pulimos la coma sintónica y la Diesis del sistema justo manteniendo una consonancia mas que razonable en un sistema de quintas iguales. Pero ahora tenemos un Chisme.

Parece cachondeo pero no, un "Schisma" o "Cisma" es la minúscula diferencia que hay entre la Quinta Pitagórica o Justa y la nueva quinta reducida un cuarto de coma. Esta diferencia vale pues, un cuarto de coma sintónica o 5,5 cents mas o menos. Este Chisma por quinta al cabo de 12 quintas sale a 66 cents, obviamente, lo que toma el lugar de las tres comas sintónicas de 22 cents mas o menos. Pero hay una pequema y chismática diferencia con la quinta del lobo de este sistema:

En efecto, la quinta del lobo es la distancia entre la 11º quinta i la 7º octava, en este caso estas 11 quintas son 11 chismas mas pequeñas. Puesto que hacen falta 12 chismas para completar 3 comas sintónicas, 11 chismas son 3 comas sintónicas menos 1 chisma. La quinta del lobo del sistema justo era de 3 comas sintónicas menos una pitagórica, o sea 12 chismas menos una pitagórica. Esta tiene solo 11 chismas menos una pitagórica, así que es una schisma mas pequeña. Esta pequeña mejoría es bastante anecdótica, ya que la quinta de referencia también es un schisma mas pequeña. Así que la quinta del lobo se ha reducido en valor absoluto pero sigue estando exactamente a la misma distancia de una de las quintas de referencia del sistema. O en otras palabras, la quinta del lobo que es la nº 12 se reduce en un chisma como las 11 anteriores.

Este sistema también contiene la Diesis, o diferencia entre tres Terceras Mayores (Do-Mi-Sol-Si# que obviamente son 12 quintas) y siete octavas. Ya que la Tercera Mayor conserva su valor la Diesis vale lo mismo en este sistema que en el justo. No vamos por tanto a definir una Diesis Mesotónica. Pero ojo que en otros sistemas mesotónicos que no sean el de Cuarto de Coma y no se basen en mantener la tercera Mayor 5:4 si que podrían tener variaciones al respecto.

Solo queda recordar que si bien los intérvalos son muy parecidos a los del sistema justo, la mecánica subyaciente es practicamente la pitagórica, salvo lo dicho de los chismas. El sistema se puede construir y modular desde cualquier nota con las mismas limitaciones y posibilidades que el pitagórico, o sea que debemos escoger que 12 notas por quintas consecutivas forman parte de él y cuales no. El mismo conjunto de 12 notas proporciona 12x12=144 intérvalos intermedios entre ellos, y hay que ir con cuidado con todos ellos. La misma arquitectura de doce quintas por ejemplo:

Mib-Sib-Fa-Do-Sol-Re-La-Mi-Si-Fa#-Do#-Sol#

Si consideramos que está basado para Re (lo que equivale a un sistema simétrico de-6 Quintas a +6 Quintas de Re) tenemos que Re-Sib forma una sexta menor pequeña y maja, pero si lo basamos en Do tenemos una quinta aumentada Do-Lab=Sol# que chirría lo suyo. Así que hay que tomar todas las precauciones de formación de tonos y de intérvalos del sistema Pitagórico y seguirlos con mas cuidado ya que la quinta del lobo es mas ululante y molesta. Aquí está el gráfico que se ha currado alguien para Wikipedia y que resume bastante bien el tema. Notar que pese a que solo hay una quinta del lobo de las 12 quintas y por tanto una sola cuarta pequeña, hay 2 intervalos de segunda mayor que resuelven a tercera disminuida y dos septimas menores que resuelven a sexta aumentada, tres sextas Mayores que son una septima disminuida, etc.


Este cuadro sería homólogo al que obtendríamos plasmando el sistema pitagórico para doce quintas dadas con los valores corregidos un chisma arriba o abajo. En negrita estan los intérvalos justos o resonantes, en amarillo y rojo los que cruzan la quinta del lobo, alterados en una diesis, La diferencia entre los marcados en rojo o amarillo es mas de tipo armónico que matemático, los intérvalos llamados consonantes (4º y 5º Justas, 3º y 6º Mayor y menor) no deberían faltar en ningún tono y al ser substituidos por sus enarmónicos (aumentados y disminuidos) la catástrofe es inevitable. En cambio el resto, coloreados en amarillo, son disonantes (2º y 7º Mayor y menor) o bien semiconsonantes (4º autda. 5º disminuida) pues cambiarlos por sus enarmónicos podría ser aceptable en muchos contextos. Algunos incluso son practicables sin mas, como el semitono cromático (1º a) o la sexta aumentada de la escala mayor mixta. En ningun caso hemos considerado desafinados los intérvalos separados una coma sintónica de sus correspondientes justos, ese es el límite de lo que consideramos afinado.

Desde el punto de vista histórico, la importancia de este sistema es crear un método mas portable y transportable que el sistema justo, mas apto para la mayoria de instrumentos y ampliamente desarrollado para composiciones no vocales o no exclusivamente corales. Tuvo sus primeros inicios durante el barroco, compitiendo directamente con instrumentos que aún usaban el sistema pitagórico y composiciones pensadas para el sistema justo, siendo un punto de encuentro intermedio bastante conveniente para todos. Y hasta en la actualidad no es raro que algunos instrumentos versátiles como el violín afinen las cuerdas por quintas pitagóricas, usen la tercera Mayor Justa y la dividan en semitonos iguales por quintas temperadas, a gusto del virtuoso de turno.

(Preludio en Do Mayor, J.S. Bach. Afinación Mesotónica)

Temperamentos irregulares:

Con el mismo propósito general de atemperar la coma sintónica sin apartarse mucho de los intérvalos del sistema justo se pueden generar gran cantidad de sistemas. Si abandonamos la premisa de la linealidad o regularidad, esto es, quintas iguales entre si, las posibilidades crecen. Todo ello a costa de que un sistema de quintas diferentes tiene las mismas dificultades de portabilidad que el sistema justo: no se puede modular libremente de cualquier tono a cualquier otro. Por ello todos los sistemas irregulares deben ser creados y estudiados intérvalo a intérvalo, de forma que quede bien definido y categorizado en cuáles de los 144 intérvalos en un conjunto de 12 notas se pueden usar y cuales no.

Sabemos que los diferentes temperamentos se empezaron a estudiar en el barroco, pero no tenemos casi ningún indicio de cómo se crearon y con que éxito. De hecho solo hay uno de estos sistemas que sea popularmente conocido hoy en día: el Buen Temperamento de J.S. Bach.

El buen Temperamento fue un temperamento irregular, un invento poco matemático creado por el maestro Bach para su obra "El Clave bien temperado." En ella se propuso poder tocar en todas y cada una de las 24 tonalidades mayores y menores, para lo cual afinó (o desafínó, segun el punto de vista ) su clavicordio para poder tocar con un margen aceptable de modulación en una tonalidad, rehaciendo la afinación para la siguiente, etc. Con ello no proporcióno una solución general al problema pero si demostró que los sistemas irregulares con mas o menos temperamento pueden funcionar con un mínimo de retoques y que no debería ser un problema a la práctica.

Actualmente no se conoce exactamente cómo realizó los ajustes, que afinación exacta tenía cada nota, ya que se supone que Bach trabajó de oido y no por desarrollos matemáticos. Pero se supone que una vez conseguida una afinación mesotónica, de tonos iguales y por tanto independiente de su nota fundamental, no le costaría mucho ir tocando quintas arriba y abajo hasta tener un margen de modulación bajo control.

Nobstante se da por seguro que no atemperaba la coma pitagòrica, ya que los tonos en los que se escribieron las 24 piezas de cada volumen (12 tonos mayores y 12 tonos menores) da por supuesta la existencia de solo 12 notas cromáticas, que en este caso son:

Para los tonos mayores:

Do - Do# - Re - Mib - Mi - Fa - Fa# - Sol - Lab - La - Sib - Si

mientras que en los tonos menores:

Do -Do# - Re- Mib - Mi - Fa - Fa# - Sol - Sol#- La - Sib - Si

Es decir que mientras que para los tonos mayores usa las quintas desde Lab a Do#, pero en los tonos menores usa desde Mib a Sol# (1 quinta mas).

Bueno hasta aquí el ladrillo de hoy. Si alguien ha sobrevivido ya sabe el 90% de lo que hay que saber sobre los sistemas de afinación de la música mas antigua (y el resto dificilemente lo aprenderán de mi), así que ya saben que toca la próxima: El clave bien temperado.

9 comentarios:

sé de cine dijo...

Leí el 70%, me rindo! Menos mal que pusiste a Bach para amenizar este bodrio jaja!

Lucifer, Becario del Mal dijo...

Bueno amigo de Montevideo, solo espero que allá "Bodrio" signifique otra cosa que por acá. Gracias por comentar igualmente.

MucipA dijo...

Una tercera parte tan bien documentada como las dos anteriores. ¡Admirable!
Y Bach siempre sublime.

PEPE CAHIERS dijo...

Debería usted publicarlo en formato libro. Creo que sería muy útil en plan didáctico.

sé de cine dijo...

Creo que bodrio significa lo mismo que en tu país pero tu entrada es muy didáctica, soy yo la que no sé nada de música, sólo la disfruto.

Mr. Lombreeze dijo...

Pfff, me lo he leído dos veces, no entiendo casi nada. Me siento como un alcornoque, pero gracias por el intento amigo roboto.

Lucifer, Becario del Mal dijo...

MucipA, muchas gracias, creo que ya va siendo hora de programar algo mas de Bach.
Pepe, hay libros muy buenos sobre estos temas (i.a. Joaquin Zamacois) pero no son precisamente accesibles. Mi propósito era ser mas explicativo pero no creo estar lográndolo mucho.
Mr Lombreeze, lo dicho no creo que haya logrado mi propósito de ser accesible. Solo espero no haber asustado a nadie.
Saludos a todos y todas y gracias por comentar

Anónimo dijo...

Amiable brief and this post helped me alot in my college assignement. Thank you for your information.

Lucifer, Becario del Mal dijo...

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